Ziel ist es die Umkehrfunktion zu berechnen. Damit du die Umkehrfunktion bilden kannst, schaust du dir bei f(x) = cos(x) nur den Definitionsbereich [0, ] an.
1. Die Umkehrfunktion ist dann eine Wurzelfunktion.
Die Umkehrfunktion hingegen ordnet jedem y-Wert einen x-Wert zu.
Quiz zum Thema Umkehrfunktion
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Neben Sinus und Cosinus kannst du auch die Umkehrfunktion vom Tangens bilden.
Hier liegt keine eindeutige Zuordnung vor, denn einem y-Wert sind zwei x-Werte zugeordnet. Löse die Gleichung nach x auf. Die Umkehrfunktion vertauscht praktisch die Rollen von x und y. Dafür brauchst du hier den sin-1, auch Arcussinus (Arcsin) genannt.
y = sin(x) | sin-1 ( )
sin-1 (y) = x
2.
Du kannst die Umkehrfunktion also problemlos berechnen:
1. Löse die Gleichung nach x auf.
Berechnen Sie die Umkehrfunktion verschiedener mathematischer Funktionen mit Schritt-für-Schritt Lösung
Spiegelt man nun einen Punkt der roten Gerade an der Winkelhalbierenden erhält man einen Punkt auf der grünen Geraden.
Beispiel 2: Lineare Funktion
Als nächstes sehen wir uns die Funktion y = 3x - 5 an. Vertausche x und y.
x = sin-1 (y)
y = sin-1 (x)
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Die Umkehrfunktion des Sinus für [, ] ist also f-1(x) = sin-1 (x).
Dasselbe gilt auch für die Cosinusfunktion: Zu jedem y-Wert gibt es unendlich viele x-Werte.
Löst man nun diese Funktionen nach "x" auf und vertauscht anschließend x und y, dann erhält man die Funktionsgleichung der Umkehrfunktion, oft auch inverse Funktion genannt. Beispielsweise gehören bei der Funktion zum y-Wert 3 die x-Werte 3 und -3.
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Um hier die Umkehrfunktion zu bilden, musst du daher den Definitionsbereich einschränken.
Sie sind nämlich das Gegenteil voneinander.
Das siehst du auch direkt an den Funktionsgraphen:
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Übrigens: Bei Umkehrfunktionen ist nicht nur die Zuordnung von x- und y-Wert vertauscht, sondern auch Definitions- und Wertebereich.
Nun zeichnen wir uns noch mit x = y die Winkelhalbierende im 1. Durch Einsatz des natürlichen Logarithmus erhalten wir zunächst x = ln(y). Für den dazugehörigen Punkt P’ auf der Umkehrfunktion f-1(x)vertauschst du einfach x und y und erhältst P'(1|0).
Wichtig: Die Funktion sollte eindeutig sein, damit du sie umkehren kannst.
Alles wird durch Beispiele verdeutlicht. Es handelt sich laut Definition trotzdem um eine Funktion.
Voraussetzung: Umkehrfunktion
Eine Funktion besitzt eine Umkehrfunktion , wenn jedem Element der Wertemenge genau ein Element der Definitionsmenge zugeordnet ist.
Kurzschreibweise:
Um die Definition besser zu verstehen, schauen wir uns anhand einiger Abbildungen an, wann eine Funktion eine Umkehrfunktion besitzt und wann nicht.
Beispiel 7
Bei handelt es sich um eine Funktion, da jedem Element der Menge genau ein Element der Menge zugeordnet ist.
Bei handelt es sich um die Umkehrfunktion, da jedem Element der Menge genau ein Element der Menge zugeordnet ist.
Beispiel 8
Bei handelt es sich um eine Funktion, da jedem Element der Menge genau ein Element der Menge zugeordnet ist.
Bei handelt es sich um keine Umkehrfunktion, da dem Element der Menge zwei Elemente ( und ) der Menge zugeordnet sind.
Die Funktion besitzt keine Umkehrfunktion!
Nach dieser mengentheoretischen Betrachtung wird es langsam Zeit, dass wir uns ein paar konkrete Funktionen anschauen, die umkehrbar bzw.
Du fragst dich, welchem Euro-Betrag der angegebene Preis entspricht.
Der Wechselkurs lässt sich durch folgende Funktion darstellen:
Die Funktion ordnet jedem Dollar-Betrag einen Betrag in Euro zu.
heißt Umkehrfunktion von .
Funktionsgleichung nach auflösen
und vertauschen
Beispiel 2
Bilde die Umkehrfunktion von .
Funktionsgleichung nach auflösen
und vertauschen
Die Umkehrfunktion von ist .
Beispiel 3
Wir zeichnen die Graphen der Funktionen aus Beispiel 2 in ein Koordinatensystem:
Zusätzlich zeichnen wir die Winkelhalbierende ein.
Ist dir aufgefallen, dass die Graphen von und symmetrisch zueinander sind?
Der Graph der Umkehrfunktion entsteht aus der Funktion durch Spiegelung an der Winkelhalbierenden mit der Gleichung .
Da bei der Umkehrfunktion im Vergleich zur zugehörigen Funktion und vertauscht sind, gilt:
Grundsätzlich gilt: Nicht jede Funktion besitzt eine Umkehrfunktion.
Quadratische Funktionen sind also nicht eindeutig. Leider ist es so, dass dies nicht immer möglich ist. Beispiel: sin⁻¹(x) = arcsin(x) ist die Umkehrfunktion, (sin(x))⁻¹ = 1/sin(x) = csc(x) ist der Kehrwert. Dabei wird erklärt, was man unter einer Umkehrfunktion zu verstehen hat, wie man sie berechnen kann und wie man sie ableiten kann. Nun vertauschen wir wieder x und y und erhalten als Umkehrfunktion y = ln(x).
Wir wissen nun was eine Umkehrfunktion ist.
Praktisch bedeutet dies, dass jeder y-Wert genau einem x-Wert zugeordnet ist. Oder y = 9 erhält man sowohl mit x = 3 als auch mit x = -3. Um die Umkehrfunktion zu bilden, betrachtest du daher nur den Definitionsbereich [, ].
1. In manchen Kontexten wird daher arc- oder -inv bevorzugt (arcsin, inv(f)).
Ist das nicht der Fall, dann lest bitte erst einmal die im Folgenden verlinkten Inhalte durch. Folgt dem nächsten Link um dies zu lernen.
Links:
Dennis Rudolph
Dennis Rudolph hat Mechatronik mit Schwerpunkt Automatisierungstechnik studiert.
Diese Umkehrfunktion wird oft mit f-1 bezeichnet. Löse die Gleichung nach x auf.
y = x3 – 1 | + 1
y + 1 = x3 |
= x
2. Statt f(x) schreibst du hier einfach „y“.
Wir erhalten dadurch y = 0,5x - 0,5. Hier hast du sie direkt durch die ln-Funktion f-1(x) = ln(x) gegeben. Dieser Artikel gehört zu unserem Bereich Mathematik.
Bevor wir uns auf die Umkehrfunktion stürzen, sollte ihr kurz nachsehen ob euch die folgenden Begriffe schon etwas sagen.
Neben seiner Arbeit als Ingenieur baute er frustfrei-lernen.de und weitere Lernportale auf. Vertausche x und y.
x = cos-1 (y)
y = cos-1 (x)
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Du erhältst dann die Umkehrfunktion des Cosinus: f-1 (x) = cos-1 (x) für [0, ].