Besonders wenn mehrere Spannungsquellen oder Stromquellen im Netzwerk vorhanden sind, ist die Verwendung dieser Methode lohnenswert. Das kann man selbstverständlich auch von Hand lösen über die Gaußsche Normalform GNF, auf die die Matrize per Zeilenumformungen zu bringen ist, das lassen ich sein und nehme einen etwas komfortableren Taschenrechner, der Bericht beschreibt das Superpositionsprinzip, nicht den Lösungsweg der GNF.
In der großen Matrize stehen nur bekannte konstante Größen, in der ganz rechten stehen auch nur bekannte und konstant Größen, die Matrize mit den Strömen ist die Unbekannte nach der wir jetzt suchen.
Man tippt die Matrizengleichung ein in den Taschenrechner am Beispiel des Hewlett Packard HP 48G:
ShiftGrün_Matrix_200_enter_300_enter_0_enter_pfeilrunter_0_enter_300_enter_1000-_enter_1_enter_1-_enter_1-_enter_enter
ShiftGrün_Matrix_50_enter_pfeilrunter_0_enter_0_enter_enter
swap
Division
Schwupp die wupp schon steht das Ergebnis für die gesuchte Matrix der Ströme im Taschenrechner, die oberste Zahl ist i1, Mitte i2 und die ganz unten i3.
i1=0,116071428....Ampere
i2=0,08928571....Ampere
i3=0,02678571....Ampere
Ströme erscheinen selbstverständlich mit richtigem Vorzeichen, man muß nur die zu Anfang festgelegte Richtung des Strompfeiles beachten und darf diese im Verlauf nicht mehr ändern, dann stimmt alles automatisch, in diesem Fall haben wir nur positive Ströme als Ergebnis.
Für was all diesen scheinbaren Aufwand?, ganz einfach: mach mal die Methode "Prosa" bei 5 Spannungsquellen, 3 Stromquellen und 22 Widerständen - viel Spaß sag ich da nur.
Beispiele sind die Quantenmechanik, die Thermodynamik und die Wellenlehre.
Quantenmechanische Vorgänge werden durch Wellenfunktionen beschrieben. Es besagt, dass eine Linearkombination von Lösungen einer homogenen linearen Gleichung auch wieder eine Lösung der homogenen linearen Gleichung ist.
Ein Beispiel dafür sind lineareDifferenzialgleichungen.
Für Schleife 4 gibt KVL an
und für Schleife 5,
Aber i5 = –i“o. Das HuygenschePrinzip, das die Wellenausbreitung in geometrischen Schattenbereichen erklärt, basiert auf dem Superpositionsprinzip.
zur Videoseite: Superpositionsprinzip
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Die Überlagerungsmethode oder auch das Superpositionsprinzip ist eine weitere Methode um lineare elektrische Netzwerke zu lösen.
Wenn du dir dazu noch ein Beispiel ansehen willst, schau dir doch unser Video „Gleichgewichtsbedingung der Statik“ dazu an.
Auch Lastfälle können sich überlagern, allerdings muss hier beachtet werden, dass bei nichtlinearenProblemen eine einfache Addition der Kräftenichtmehrmöglich ist.
Die Formel dazu lautet:
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So wird eine Kiste, auf welche zwei Kräfte nach links und nach vorne wirken, in Richtung der Gesamtkraft geschoben.
Was ist der Superpositionssatz
Der Superpositionssatz wird uns bei der Analyse einer Schaltung mit mehreren Quellen sehr helfen.
Dabei werden die Prozesse, welche zur Wärmezufuhr und zur Wärmeabfuhr beitragen, überlagert. Genauso bei nicht idealen Stromquellen, der hohe Parallelwiderstand muß in der Schaltung verbleiben. Wenn du über diese mehr wissen willst, kannst du dir unser Video zur Bragg Gleichung ansehen.
Bei der konstruktiven Interferenz verstärkt sich die Amplitude der Ausgangsfunktion.
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Bei der destruktiven Interferenz reduziert sich die Amplitude der Ausgangfunktion, die Wellen löschen sich gegenseitig aus.
Der resultierendeAmplitudenverlaufwirkt sich jedoch nicht auf die ursprünglichenAmplitudenverläufe aus.
Die Intelligenz liegt hier nicht primär in der Durchführung der Mathematik, die Intelligenz soll liegen im "Sehen und Verstehen" der Knoten und Maschen, später dann auch im echten Leben.
Manche meiner frühen Lehrkräfte sahen das einst ein wenig anders und machten Schüler wild mit schwer nachvollziehbaren Prosa Zusammenfassungen (das bis zu einem gewissen Level schneller ist) mit ihren alljährlich gleichen Aufgaben an der Tafel und waren gelegentlich sehr stolz darauf die Methode Prosa besser zu können als die auf den Bänken.
Die Vereinfachung der Überlagerungsmethode basiert auf einer Vereinfachung des Netzwerkes, in dem zunächst nur eine einzelne Quelle betrachtet wird und alle anderen Quellen unbeachtet bleiben.
In den einzelnen Zweigen des Netzwerks ist der jeweilige tatsächlich fließende Strom die algebraische vorzeichenbewerte Summe aller Einzelströme verusacht durch die jeweilige Quelle, wobei dabei alle nichtbeteiligten Quellen in der jeweiligen Einzelbetrachtung entsprechend abzuschalten sind.
Es sind insgesamt drei Spannungs- oder Stromquellen, somit sind drei verschiedene Rechnungen durchzuführen:
Berechnung 1:
| Bild 2: Die Spannungsquelle V2 wurde nun entfernt und durch einen Kurzschluß ersetzt. Die Stromquelle I1 wurde einfach ausgebaut. Du wirst nun zugegen müssen das vereinfachte Netzwerk in Bild 2 ist schon einfacher zu rechnen als Bild 1 ? |
In der Schaltung aus Bild 2 können nun die Knoten- und Maschenregeln angewandt werden.
Diese Größen überlagern sich dabei ohne gegenseitige Beeinträchtigung. Mit dieser Methode lassen sich auch komplizierte lineare Netzwerke vereinfachen, so daß die Lösung einfacher greifbar wird. Dabei werden die Amplituden aufsummiert. Der letzte Schritt besteht darin, alle Werte für das gewünschte Element zu berechnen.
Wichtige Frage:
Wie viele unabhängige Quellen können mit dem Superpositionssatz gleichzeitig analysiert werden?
Wir können jeweils nur eine aktive unabhängige Quelle verwenden.
Die Überlagerung ist eine der wirkungsvollsten Methoden zur Analyse eines Schaltkreises, der aus mehreren unabhängigen Quellen besteht.
Wir wenden eine Netzanalyse an, um i’o zu erhalten. Verwenden Sie den Superpositionssatz, um v im Schaltkreis von Abbildung zu finden.(1)
Abbildung 1
Lösung :
Da es zwei Quellen gibt, lassen Sie
Dabei sind v1 und v2 die Beiträge der 6-V-Spannungsquelle bzw.
Es kann nur zu Energieverlusten kommen.
Ein Beispiel für sich überlagernde Wellen sind elektromagnetischeWellen, da sich hier die Wellen unabhängig von anderen Wellen in einem Medium ausbreiten. Um i’o zu erhalten, schalten wir die 20-V-Quelle ab, sodass wir die Schaltung Abbildung (4a) erhalten.
Es behandelt die Überlagerung zweier gleicher physikalischer Größen. Berechnen Sie den Strom i mithilfe des Superpositionssatzes.
Lösung:
Zuerst aktivieren wir die Spannungsquelle, während wir die Stromquelle deaktivieren (wir ersetzen sie durch ihre interne Impedanz, einen offenen Stromkreis).
Dann,
Als nächstes aktivieren wir die Stromquelle, während wir die Spannungsquelle deaktivieren (wir ersetzen sie durch ihre interne Impedanz, einen Kurzschluss).
2.
Für jede Überlagerungsschaltung berechnen wir den Spannungs- und/oder Stromabfall im gewünschten Element. Diese ist linear, deshalb wird als Beispiel oft Schrödingers Katze verwendet.
Bei inkohärentenSektoren innerhalb des Zustandsraums des Quantensystems gilt das Prinzip nur innerhalb der einzelnenSektoren.
In der Thermodynamik berechnet man mit dem ÜberlagerungsprinziptransienteErwärmungsvorgänge.
So ist die Wahrscheinlichkeit für und , sollten dies normiert und orthogonal zueinander sein, folgendes:
Die Grundgleichung ist hier die Schrödinger-Gleichung. Selbst wenn wir mehrere Gleichungen analysieren müssen, ist dieser Satz sehr einfach anzuwenden und erfordert kein großes Verständnis, um ihn zu beherrschen.
Dieser Satz kann nur für eine lineare Schaltung verwendet werden.
Die Superposition wird in vielen Bereichen wie der Mathematik, der Physik und der Elektrotechnik auf lineare Probleme angewandt.
Das Superpositionsprinzip unterscheidet sich dabei nur nach der Art der sich überlagernden Größen. der 3-A-Stromquelle. Man sieht wieder in der großen Matrize, wie alles spaltenweise geordnet ist nach i1, i2 und i3, die Vorzeichen immer stur beibehalten.
Zusätzlich zeigt der Bericht noch wie einfach mittels Matrizen und einem Rechner die Aufgaben gelöst werden können.
| Bild 1: Zwei Spannungsquellen V1 mit 50 Volt und V2 mit 5 Volt Eine Stromquelle I1 mit 1,5 Ampere Drei Widerstände R1 mit 200 Ohm, R2 mit 300 Ohm und R3 mit 1000 Ohm. |
Das Netzwerk könnte nun in diesem einfachen Beispiel als Ganzes auch sofort berechnet werden nach den Knoten- und Maschenregeln; eine andere Methode in Kombiation mit der Knoten- und Maschenregel ist das Superpositionsprinzip, es kann die Berechnung von Netzwerken vereinfachen oder in manchen Fällen überhaupt erst möglich machen.
Wir haben hier drei aktive Quellen, zwei Spannungsquellen und eine Stromquelle.
Hier gilt das Superpositionsprinzip nur für exaktabgeschlosseneSysteme, die nicht mit Ihrer Umgebung verschränkt sind. Wenn ein Stromkreis über zwei oder mehr unabhängige Quellen verfügt, besteht eine Möglichkeit zur Bestimmung des Werts einer bestimmten Variablen (Spannung oder Strom) in der Verwendung der Knoten- oder Netzanalyse, wie bereits beschrieben.
Eine andere Möglichkeit besteht darin, den Beitrag jeder unabhängigen Quelle zur Variablen zu bestimmen und diese dann zu addieren.
Hier bedeutet die Superposition eine ungestörteÜberlagerung mehrerer Wellen gleichen Typs – auch Interferenz genannt.
Das Programm zeigt hier die Ströme durch R1, R2 und R3. Das Programm setzt die Strommessung an am Pin 1 der zweipoligen Widerstände, in diesem Fall sind es die nach oben gerichteten Anschlüsse der Widerstände.
Wir lassen
wobei i’o und i”o auf die 4-A-Stromquelle bzw. Dabei kann es zu einer konstruktiven und zu einer destruktivenInterferenz . Denn ob die Kiste erst nach links oder nach vorne geschoben wird ist für das Endresultat nicht weiter wichtig.
Gerade Anfänger scheitern manchmal an so derart einfachen Dingen, hier Ausführlichkeit halber schön gezeichnet wie zu denken ist.
Die einmal zu Beginn der Rechnung festgelegten Richtungen der Strom- und Spannungspfeile müssen bis zum Ende der gesamten Rechnung beigehalten werden, sonst funktioniert es nicht.
Masche I: Ur2-Uv1+Ur1=0
Masche II: Ur2-Ur3=0
Knoten A: i1-i2-i3=0
Die drei Gleichungen sind nach den Strömen zu lösen, dazu gibt es mehrere Methoden, die einfachste bei dem kleinen Netzwerk ist natürlich die gedanklicher Art:
R2 parallel R3=230,769 Ohm
Gesamtwiderstand=R1 + R2||R2 das sind dann 430,769 Ohm.
Dadurch ist i1 schon bestimmt mit 50 Volt/430,769 Ohm = 0,116 Ampere.
i1=0,116 Ampere
Dadurch läßt sich der Spannungsabfall an R1 berechnen mit 200 Ohm * 0,116 Ampere = 23,214 Volt.
i2 = (50V-23,214V)/300 Ohm sind dann i2=0,0892 A
i3 = (50V-23,214V)/300 Ohm sind dann i3= 0,0267 A
das war gerechnet in "Prosa".
Falls alle Widerstände bekannt sind, geht es auch in Matrizenform, dazu werden die Knoten und Maschengleichungen untereinander geschrieben und jeder Strom bekommte eine eigene Spalte, siehe selbst wie das Schema geht, die Gleichungen sind dabei zuerst zu ordnen und Spannungen dabei durch das Produkt aus Widerstand und jeweiligem Strom zu ersetzen :
R1*i1 + R2*i2 + 0*i3 = 50V
0*i1 + R2*i2 - R3*i3 = 0V
1*i1 - 1* i2 - 1*i3 = 0A
Bist Du damit einverstanden, daß diese Maschen und Knoten mathematisch immer noch die gleichen sind wie oben in rosa Farbe?
Auch bei Wasserwellen lässt sich dieses Prinzip beobachten. Da das Einzeichnen von den negativen Strömen i2 und i3 etwas unanschalich wäre, wurden diese jetzt im Vorzeichen invertiert, damit sie positiv sind. Die Formel kann auch so ausgedrückt werden:
“Sind bis Lösungen einer homogenen linearen Differentialgleichung, dann ist auch jede Summe dieser Lösungen eine Lösung der Differentialgleichung”
(03:34)
Neben der Mechanik bedienen sich noch andere Teildisziplinen der Physik an dem Superpositionsprinzip.