Jede Aufgabe lässt sich in vier Schritten lösen: Skalarprodukt, Beträge berechnen, Formel anwenden, Winkel bestimmen. In den nächsten beiden Beispielen zeigen wir dir, wie du den Winkel zwischen zwei Vektoren im zweidimensionalen und im dreidimensionalen Raum berechnest.
Du berechnest den Winkel zwischen den Vektoren:
Schritt 1: Skalarprodukt berechnen
Das Ergebnis brauchst du später im Zähler der Formel.
Schritt 2: Längen der Vektoren berechnen
Die Beträge kommen in den Nenner.
Schritt 3: Werte in die Formel einsetzen
Setze alles in die Formel ein:
Schritt 4: Winkel berechnen mit dem Taschenrechner
Gegeben sind die Vektoren:
Schritt 1: Skalarprodukt berechnen
Multipliziere die passenden Komponenten und addiere sie:
Schritt 2: Beträge der Vektoren berechnen
Schritt 3: In die Formel einsetzen
Nun setzt du alles in die Winkel-Formel ein:
Schritt 4: Winkel berechnen
Zum Schluss nutzt du die Umkehrfunktion vom Cosinus im Taschenrechner:
Nun bist du dran!
Dafür brauchst du die Umkehrfunktion arccos. Bei der Berechnung wird immer der kleinere Winkel θ berechnet. Daraus bekommst du am Ende nur eine Zahl: das Skalarprodukt.
Sobald du Skalarprodukt und Längen berechnet hast, setzt du alles in die Formel ein.
Mit den folgenden Aufgaben kannst du dein Wissen direkt testen. Wie das genau funktioniert und worauf du achten musst, zeigen wir dir hier und im Video Schritt für Schritt!
Quiz zum Thema Winkel zwischen zwei Vektoren
5 Fragen beantworten
Um einen Winkel zwischen zwei Vektoren zu berechnen, benötigst du folgende Formel:
Damit findest du heraus, wie groß der Winkel θ (Theta) zwischen den Vektoren und ist.
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Was brauchst du dafür?
Wann das der Fall ist und was das mit orthogonalen Vektoren zu tun hat, erfährst du hier! Ohne sie kannst du den Winkel nicht ausrechnen.
Jetzt kennst du das Skalarprodukt (Zähler) und die Längen (Nenner). Es gibt je zwei Aufgaben im 2D- und im 3D-Raum.
θ‘ + θ ergibt immer 360°.
\( \mathbf{u}\cdot \mathbf{v} \) ist das Punktprodukt von u und v.
Berechne den Winkel zwischen den Vektoren u und v:
\( \large{ \mathbf{u} = \begin{pmatrix}1\\ 5\end{pmatrix},\;\; \mathbf{v} = \begin{pmatrix}3\\ 7\end{pmatrix} } \)
Die Berechnung erfolgt nach der Formel aus der Definition:
\( \begin{align} \cos(\theta) &= \frac{\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}}{\left | \mathbf{u} \right |\cdot \left | \mathbf{v} \right |} \\[1ex] \cos(\theta) &= \frac{1\cdot 3 + 5\cdot 7}{\sqrt{1^2+5^2}\cdot \sqrt{3^2+7^2}} \\[1ex] \cos(\theta) &= \frac{38}{\sqrt{26}\cdot \sqrt{58}}\\[1ex] \arccospar{\vphantom{\tfrac{1}{2}}\cos(\theta)} &= \arccospar{\frac{38}{\sqrt{26}\cdot \sqrt{58}}} \\[1ex]\theta &= \arccospar{\frac{38}{\sqrt{26}\cdot \sqrt{58}}} \approx 11{,}89^\circ \\[1ex]&\Rightarrow \theta^\prime = 360^\circ-11{,}89^\circ = 348{,}11^\circ \end{align} \)
Berechne den Winkel zwischen den Vektoren u und v:
\( \large{ \mathbf{u} = \begin{pmatrix}2\\ 9 \\ 5\end{pmatrix},\;\; \mathbf{v} = \begin{pmatrix}6 \\ -2\\ 4\end{pmatrix} } \)
\( \begin{align} \cos(\theta) &= \frac{\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}}{\left | \mathbf{u} \right |\cdot \left | \mathbf{v} \right |} \\[1ex] \cos(\theta) &= \frac{2\cdot 6 + 9\cdot -2 + 5\cdot 4}{\sqrt{2^2+9^2 + 5^2}\cdot \sqrt{6^2+(-2)^2+4^2}} \\[1ex] \cos(\theta) &= \frac{14}{\sqrt{110}\cdot \sqrt{56}}\\[1ex] \arccospar{\vphantom{\tfrac{1}{2}}\cos(\theta)} &= \arccospar{\frac{14}{\sqrt{110}\cdot \sqrt{56}}} \\[1ex]\theta &= \arccospar{\frac{14}{\sqrt{110}\cdot \sqrt{56}}} \approx 79{,}72^\circ \\[1ex]&\Rightarrow \theta^\prime = 360^\circ-79{,}72^\circ = 280{,}28^\circ \end{align} \)
Den Winkel zwischen zwei Vektoren kannst du mit einer Formel berechnen.
Das machst du mit der Taste auf dem Taschenrechner:
➡️ Damit weißt du jetzt, dass der Winkel zwischen und etwa 46° beträgt. Ein großer Wert bedeutet: die Vektoren zeigen eher in dieselbe Richtung.
Der Betrag eines Vektors beschreibt, wie groß der Vektor ist — also wie lang der Pfeil ist, den er im Koordinatensystem darstellt:
Eingesetzt mit den Werten aus dem Beispiel:
➡️Diese Längen brauchst du, weil sie in den Nenner der Winkel-Formel kommen.
zwischen 0 und π⁄2 befinden: \( 0 \;\leq\; \measuredangle(\vec{\mathbf{u}},\vec{\mathbf{v}}) \;\leq\; 180^\circ \). Wichtig ist nur, dass dir unser Rechner für Winkel zwischen zwei Vektoren alle möglichen Kombinationen zur Verfügung stellt.
In der linearen Algebra und der analytischen Geometrie ist häufig nach dem Winkel zwischen zwei Vektoren gefragt.
Seien u und v zwei Vektoren in \( \mathbb{R}^n \), dann ist der Kosinus des Winkels θ zwischen den beiden Vektoren definiert als:
\( \large{ \cos(\theta ) = \dfrac{\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}}{\left | \mathbf{u} \right |\cdot \left | \mathbf{v} \right |} } \)
Der Winkel wird sich gemäß des Wertebereichs der cos-1-Funktion zwischen 0 und 180° bzw.
Wie das genau geht, zeigen wir dir im nächsten Schritt.
Den Winkel zwischen zwei Vektoren berechnest du am besten Schritt für Schritt. So bekommst du den Winkel in Grad. Du nimmst dafür die entsprechenden Zahlen aus beiden Vektoren, multiplizierst sie miteinander und addierst das Ergebnis.
Am Beispiel sieht das so aus:
➡️Diese Zahl zeigt dir, wie ähnlich sich die Richtungen der beiden Vektoren sind.
Beides setzt du in die Winkel-Formel ein:
➡️Der Cosinus gibt dir eine Zahl zwischen –1 und 1. Wie man an der Abbildung rechts sehen kann, gibt es noch einen zweiten Winkel θ‘. Wenn du verstehen möchtest, wie wir sie herleiten, lies direkt den nächsten Abschnitt, Wie findet man den Winkel zwischen zwei Vektoren?
Winkel zwischen zwei 2D-Vektoren
Für den Vektor a:
a=(xa,ya)
und den Vektor b:
b=(xb,yb)
ist der Winkel:
Winkel=arccos(xa2+ya2⋅xb2+yb2xaxb+yayb)
Für den Vektor a:
A=(x1,y1)
und:
B=(x2,y2)
Vektor a ist gleich:
a=(x2−x1,y2−y1)
Für den Vektor b:
C=(x3,y3)
und:
D=(x4,y4)
Vektor b ist also:
b=(x4−x3,y4−y3)
und:
Winkel=arccos(((x2−x1)(x4−x3)+(y2−y1)(y4−y3))/((x2−x1)2+(y2−y1)2⋅(x4−x3)2+(y4−y3)2))
Winkel zwischen zwei 3D-Vektoren
a=(xa,ya,za)
und:
b=(xb,yb,zb)
dann der der Winkel:
Winkel=arccos((xaxb+yayb+zazb)/(xa2+ya2+za2⋅xb2+yb2+zb2))
Durch Anfangs- und Endpunkte dargestellte Vektoren:
Für den Vektor a:
A=(x1,y1,z1)
und:
B=(x2,y2,z2)
Also:
a=(x2−x1,y2−y1,z2−z1)
Für den Vektor b:
C=(x3,y3,z3)
und:
D=(x4,y4,z4)
Also:
b=(x4−x3,y4−y3,z4−z3)
Finde die endgültige Formel analog zur 2D-Version:
Winkel=arccos(((x2−x1)(x4−x3)+(y2−y1)(y4−y3)+(z2−z1)(z4−z3))/((x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2⋅(x4−x3)2+(y4−y3)2+(z4−z3)2))
Es ist auch möglich, dass einer der Vektoren durch Koordinaten und der andere durch einen Anfangs- und Endpunkt definiert wird, das soll uns hier aber nicht weiter stören.
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Berechne immer den Winkel zwischen den Vektoren.Aufgabe 1:
Lösung:
Aufgabe 2:
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Aufgabe 3:
Lösung:
Aufgabe 4:
Lösung:
Quiz zum Thema Winkel zwischen zwei Vektoren
5 Fragen beantworten
Zwei Vektoren können nicht nur einen bestimmten Winkel bilden — sie können auch genau senkrecht zueinander stehen.
Das ist ein spitzer Winkel, die beiden Pfeile gehen also deutlich auseinander, sind aber nicht senkrecht zueinander.
Jetzt, wo du die Rechenschritte kennst, wird’s praktisch. Schauen wir uns das an einem Beispiel an:
Das Skalarprodukt ist eine Rechenregel, mit der du zwei Vektoren miteinander vergleichen kannst.
Je nachdem, wie ähnlich oder unterschiedlich die Richtungen sind, liegt der Wert näher bei 1 (kleiner Winkel) oder bei –1 (großer Winkel, fast entgegengesetzt).
Jetzt drehst du den Cosinus wieder um. Mit dem Taschenrechner kannst du dann den Winkel berechnen.
In diesem Abschnitt findest du die Formeln für den Winkel zwischen zwei Vektoren – und nur die Formeln.